** Courbe de Lorenz et indice de Gini - Grand Oral

On appelle courbe de Lorenz une courbe représentative d'une fonction \(f\)  satisfaisant les conditions suivantes :

• \(f\)  est continue sur \([0~;~1]\)  ;
• \(f(0)=0\)  et \(f(1)=1\)  ;
• \(\forall x\in[0~;~1],\,0\leqslant f(x)\leqslant x\) .
  

On utilise la courbe de Lorenz par exemple en SES pour illustrer les inégalités de revenus ou de patrimoine.

Courbe de Lorenz des revenus et du patrimoine en France (2018)

Lecture : \(80\) % des ménages (en abscisses) possèdent \(35\) % du patrimoine brut total (en ordonnées).

On appelle indice, ou coefficient, de Gini le nombre \(\mathcal{G}\) défini de la façon suivante :  \(\mathcal{G}={\displaystyle 1-2\int_{0}^{1}f(x)\mbox{d}x}\) .
\(\mathcal{G}\) est un nombre compris entre \(0\) et \(1\)  :  \(0\)  représente l'égalité parfaite ( le patrimoine total est équiréparti entre les ménages) et \(1\) l'inégalité parfaite (un seul ménage détient l'ensemble du patrimoine total).
À titre d'exemple, l'indice de Gini est d'environ \(0{,}25\)  en Slovaquie, \(0{,}30\)  en France,  \(0{,}40\)  aux États Unis et \(0{,}63\)  en Afrique du Sud.

On considère que la répartition du patrimoine dans un pays donné est modélisée par la fonction  \(f\) définie sur \([0~;~1]\)  par  \(f(x)=\dfrac{x^{3}+x}{2}\) .

1. Vérifier que la courbe représentative de \(f\)  est une courbe de Lorenz.

2. Calculer l'indice de Gini de ce pays.